Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=(cos2

A

2

，cos2A)，

n

=(4，-1)且

m

•

n

=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，試判斷bc取得最大時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積的坐標表示可得，

m

•

n

=-2cos2A+2cosA+3=

7

2

，結(jié)合0＜A＜π，可得A=

π

3

（II）由余弦定理可得，(

3

)2=b2+c2-2bccos

π

3

=b2+c2-bc．
由基本不等式b²+c²≥2bc可得3≥2bc-bc從而可得，bc≤3，當(dāng)b=c=

3

取等號，從而可得

解答：解：（Ⅰ）由已知得，

m

•

n

=4cos2

A

2

-cos2A=4•

1+cosA

2

-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cosA+3=

7

2

，解得cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

（Ⅱ）由余弦定理可得(

3

)2=b2+c2-2bccos

π

3

=b2+c2-bc．
∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc，即bc≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

時，bc取得最大值，此時a=b=c=

3

，
故△ABC為等邊三角形．

點評：本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，等知識求解三角函數(shù)值、判斷三角形的形狀．屬于綜合試題，但難度不大．