設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5+cosx,且f (0)=0,則不等式f (x-1)+f (1-x2)<0的
解集為
 
分析:由題意函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5+cosx,恒正,故函數(shù)是增函數(shù),再由函數(shù)是奇函數(shù)將不等式f (x-1)+f (1-x2)<0轉(zhuǎn)化為f (x-1)<f (x2-1),由單調(diào)性及定義轉(zhuǎn)化為不等式組解之即可.
解答:解:∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5+cosx,恒正,∴函數(shù)是增函數(shù),
又函數(shù)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù),則不等式f (x-1)+f (1-x2)<0轉(zhuǎn)化為f (x-1)<f (x2-1),
-1<x-1<1
-1<x2-1<1
x2-1>x-1
解得x∈(1,
2

故答案為:(1,
2
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及抽象不等式的解法,求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及利用奇函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組,本題求解時(shí)易因?yàn)橥浂x域的限制導(dǎo)致解題失敗,解題時(shí)不要忘記驗(yàn)證函數(shù)有意義的范圍即函數(shù)的定義域.
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設(shè)定義在R上的函數(shù)f (x)=ax4+a1x3+a2x2+a3x (ai∈R,i=0,1,2,3 ),當(dāng)x=-時(shí),f (x)取得極大值,并且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.
(1)求f (x)的表達(dá)式;
(2)試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn),使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1,1]上;
(3)求證:|f (sin x)-f (cos x)|≤(x∈R).

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f (x)=ax4+a1x3+a2x2+a3x (ai∈R,i=0,1,2,3 ),當(dāng)x=-時(shí),f (x)取得極大值,并且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.
(1)求f (x)的表達(dá)式;
(2)試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn),使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1,1]上;
(3)求證:|f (sin x)-f (cos x)|≤(x∈R).

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設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5+cosx,且f (0)=0,則不等式f (x-1)+f (1-x2)<0的
解集為______.

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設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=5+cosx,且f (0)=0,則不等式f (x-1)+f (1-x2)<0的
解集為   

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