Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若bn=n(

1

2

)an，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₁，a₂，a₃．
（Ⅱ）由2S_n=a_n²+a_n，知2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2），所以（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由bn=n(

1

2

)n，知Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1．由此能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）
（Ⅱ）2S_n=a_n²+a_n，①2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2）②（5分）
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，（6分）
因為a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1，所以a_n=n（n∈N^*）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵bn=n(

1

2

)n，
∴Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1．
兩式相減得，

1

2

Tn =

1

2

+(

1

2

)2 +…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=1-

2+n

2n+1

．
所以Tn=2-

2+n

2n

．（13分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，注意數(shù)列通項公式的求法和錯位相減法的合理運(yùn)用．