Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=2ⁿa_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知，利用基本量a₁，d表示，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求通項(xiàng)及前n項(xiàng)和
（Ⅱ）先寫出b_n通項(xiàng)公式，可以看出數(shù)列{b_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成，因此采取錯(cuò)位相減求和．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}，公差為d
∵a₃=7，a₅+a₇=26
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

解得a₁=3，d=2
∵an=a1+(n-1)d，Sn=

n(a1+an)

2

∴a_n=2n+1，S_n=n（n+2）
（2）由（1）知bn=2nan=2ⁿ（2n+1）
∴Tn=3•21+5•22+…+(2n+1)•2n
2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+

8(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+1
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
Tn=(2n-1)•2n+1+2

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的方法，對于數(shù)列求和的方法要根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)采取不同求和方法，像本題中數(shù)列{b_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成，因此采取錯(cuò)位相減的求和方法．