Question

在△ABC中，a，b，c分別表示三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，如果滿足條件（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），且A≠B，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

證明：原式化為 a²[sin（A-B）-sin（A+B）=-b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
即 a²[sin（A+B）-sin（A-B）=b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
故 2a²cosA•sinB=2b²sinAcosB，由正弦定理可得 sin²AcosA•sinB=2sin²BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，
sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．
∵A-B≠0，∴sin（A-B）≠0，∴cos（A+B）=0，故-cosC=0，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形．
分析：利用正弦定理，兩角和差的正弦公式，把已知的等式化為sin2A-sin2B=0，利用和差化積公式可得
2cos（A+B）•sin（A-B）=0，故有cos（A+B）=0，故-cosC=0，得到C=90°，命題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、兩角和差的正弦公式和誘導(dǎo)公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，得到sin2A=sin2B，是解題的關(guān)鍵．