Question

3．如圖，已知橢圓C的中心在原點O，左焦點為F₁（-1，0），左頂點為A，且F₁為AO的中點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C₁方程為：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1（m＞n＞0）$，橢圓C₂方程為：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=λ（λ＞0，且λ≠1）$，則稱橢圓C₂是橢圓C₁的λ倍相似橢圓．已知C₂是橢圓C的3倍相似橢圓，若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C₂于兩點M，N，試求弦長|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的中心在原點O，左焦點為F₁（-1，0），左頂點為A，且F₁為AO的中點，求出a，b，c，由此能求出橢圓C的方程．
（2）橢圓C₁的3倍相似橢圓C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．切線m垂直于x軸，則其方程為：x=±2，推導出|MN|=2$\sqrt{6}$；若切線m不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：y=kx+b，代入橢圓C₁方程，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出弦長|MN|的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心在原點O，左焦點為F₁（-1，0），左頂點為A，且F₁為AO的中點，
∴c=1，a=2，∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）橢圓C₁的3倍相似橢圓C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
①若切線m垂直于x軸，則其方程為：x=±2，解得y=$±\sqrt{6}$，
∴|MN|=2$\sqrt{6}$．
②若切線m不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：y=kx+b．
將y=kx+b代入橢圓C₁方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）=48（4k²+3-b²）=0，
即b²=4k²+3，（*），
設(shè)M，N兩點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
將y=kx+b代入橢圓C₂的方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0，
此時，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-36}{3+4{k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$=4$\sqrt{6}$$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=2$\sqrt{6}$$\sqrt{1+\frac{1}{3+4{k}^{2}}}$，
∵3+4k²≥3，∴1＜1+$\frac{1}{3+4{k}^{2}}$$≤\frac{4}{3}$，即2$\sqrt{6}$＜2$\sqrt{6}$$\sqrt{1+\frac{1}{3+4{k}^{2}}}$≤4$\sqrt{2}$，
綜合①②，得弦長|MN|的取值范圍是[2$\sqrt{6}$，4$\sqrt{2}$]，
∴弦長|MN|的最大值是4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．