Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx．（a∈R）
（Ⅰ）曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程是2x-y+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為f′（1）=2，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可求a，b
（Ⅱ）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，探討出f（x）在[1，+∞）上的增減性，通過(guò)與特殊值、極值的比較作出解答．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0}．f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，∵f（1）=0，∴切點(diǎn)為（1，0），帶入切線(xiàn)方程2x-y+b=0得出b=-2
又f′（1）=2a-2=2，解得a=2
（Ⅱ）f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，（x≥1）
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其與條件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
 （2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f'（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

在[1，

1

a

）上滿(mǎn)足f'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其與條件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
（3）當(dāng)a≥1時(shí)，a（1+

1

x2

）≥1+

1

x2

≥

2

x

，f'（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，又f（1）=0，所以f（x）≥0．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，函數(shù)的單調(diào)性，理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件，數(shù)形結(jié)合的思想方法．