Question

4．如圖所示，在直三棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是線段A′B′的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB′上的一點(diǎn)，若OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的正切值．

Answer 1

分析 以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，利用OP⊥BD得出BP，從而得出tan∠POB的值．

解答 解：如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
則B（3，0，0），D（$\frac{3}{2}$，2，4）．
設(shè)P（3，0，z），則$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{3}{2}$，2，4），$\overrightarrow{OP}$=（3，0，z）．
∵BD⊥OP，∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{OP}$=-$\frac{9}{2}$+4z=0，解得z=$\frac{9}{8}$，即BP=$\frac{9}{8}$．
∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP與底面AOB所成的角．
∵tan∠POB=$\frac{BP}{OB}$=$\frac{3}{8}$，
∴OP與底面AOB所成角的正切值為$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面角的計(jì)算，空間向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．