如圖，已知AB是過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A（x1，y1），B（x2，y2）．
求證：
（1）|AB|=x1+x2+p；
（2）y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
；
（3）（理科）直線的傾斜角為θ時，求弦長|AB|．
（3）（文科）當p=2，直線AB的傾斜角為
π
4
時，求弦長|AB|．
（1）證明：∵AB是過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的弦，
∴由拋物線定義可得|AB|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p；
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+
p
2
，代入y2=2px，可得y2-2pmy-p2=0
∴y1y2=-p2，∴x1x2=
p2
4
；
（3）（理科）由（2）知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，∴
y21
+
y22
=（y1+y2）2-2y1y2=4p2m2+2p2，
∴
y21
+
y22
=2p（x1+x2）=4p2m2+2p2，∴x1+x2=2pm2+p，
∴θ=90°時，m=0，∴|AB|=2p；θ≠90°時，m=
1
tanθ
，|AB|=
2p
tan2θ
+2p；
（4）（文科）由（3）（理科）知，|AB|=
2p
tan2θ
+2p=8．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)的動點，且PA=2PB，則P點所形成軌跡圖形的長度為（　　）
A．
2
B．
2
3
3
π		C．πD．
3
6
π

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的P（-3，m）到焦點的距離為5，則拋物線的標準方程為（　　）
A．y2=4xB．y2=8xC．y2=-4xD．y2=-8x

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點A（x0，y0）為拋物線y2=8x上的一點，F(xiàn)為該拋物線的焦點，若|AF|=6，則x0的值為（　�。�
A．4B．4
2
C．8D．8
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F是拋物線y2=4x的焦點，A，B是拋物線上兩點，△AFB是正三角形，則該正三角形的邊長為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y=4x2的焦點坐標是（　　）
A．（1，0）B．（0，1）C．（
1
16
，0）		D．（0，
1
16
）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中，正確的個數(shù)有（　�。�
（1）拋物線y=2x2的準線方程為y=-
1
8
；
（2）雙曲線
x2
4
-y2=1的漸近線方程為y=±2x；
（3）橢圓
x2
4
+y2=1的長軸長為2；
（4）雙曲線
x2
9
-
y2
7
=1的離心率與橢圓
x2
16
+
y2
7
=1的離心率之積為1．
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線y2=8x上，定點A（3，2），F(xiàn)拋物線的焦點，P為拋物線上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為（　�。�
A．5B．6C．7D．8

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y2=-12x的準線與雙曲線
x2
9
-
y2
3
=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于（　�。�
A．3
3
B．2
3
C．2D．
3

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