Question

（2013•嘉定區(qū)一模）如圖，已知橢圓

x2

16

+

y2

7

=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF|²-|PB|²=3，求點(diǎn)P的軌跡；
（2）若x₁=3，x2=

1

2

，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出B和F點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后直接由關(guān)系式|PF|²-|PB|²=3求點(diǎn)P的軌跡；
（2）題目給出了M和N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求得兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后求出經(jīng)過A、M和B、N的兩條直線方程，則點(diǎn)T的坐標(biāo)可求．

解答：解：（1）由已知得a=4，b=

7

，c=3，
則B（4，0），F(xiàn)（3，0），
設(shè)P（x，y），
由|PF|²-|PB|²=3，得[（x-3）²+y²]-[（x-4）²+y²]=3，
化簡得，x=5．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線x=5．
（2）由x₁=3，x2=

1

2

，則M（3，y₁），N(

1

2

 ， y2)
將M（3，y₁）和N(

1

2

 ， y2)代入

x2

16

+

y2

7

=1得，

9 16 + y 2 1 7 =1 1 64 + y 2 2 7 =1

，
解得

y 2 1 = 49 16 y 2 2 = 441 64

，
因?yàn)閥₁＞0，y₂＜0，所以y1=

7

4

，y2=-

21

8

．
所以M(3 ， 

7

4

)，N(

1

2

 ， -

21

8

)．
又因?yàn)锳（-4，0），B（4，0），
所以直線MA的方程為y=

1

4

(x+4)，直線NB的方程為y=

3

4

(x-4)．
由

y= 1 4 (x+4) y= 3 4 (x-4)

，
解得

x=8 y=3

．
所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（8，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了利用代入法求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了過兩點(diǎn)的直線方程的求法，考查了計(jì)算能力，此題屬中檔題．