Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分線l交AC于D，當(dāng)點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)時(shí)，D點(diǎn)的軌跡圖形設(shè)為E．
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P為E上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)|PA|²=1+λ|PO|²，求λ的最大值．

Answer 1

解：（1）．設(shè)D（x，y）
∵l是BC的垂直平分線，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2＞2=|AB|
∴D點(diǎn)的軌跡圖形E是A，B為焦點(diǎn)的橢圓 （3分）
其中2a=2，c=1，
∴a=，b²=a²-c²=1 （5分）
∴D點(diǎn)的軌跡圖形E： （7分）
（2）設(shè)，
則PO²=x²+y²，（8分）
PA²=（x-1）²+y² （9分）
==
（10分）
點(diǎn)P（x，y）滿足，∴，（11分）
λ=1-=1- （12分）
當(dāng)x≥0時(shí)，λ≤1
當(dāng)x＜0時(shí)，設(shè)t=-x，則t∈（0，]，λ=1+=1+ （13分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/37559.png' />，所以λ≤1+，
當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即x=-時(shí)，λ取得最大值1+． （14分）
分析：（1）．設(shè)D（x，y），結(jié)合圖象由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義知，點(diǎn)E的軌跡是橢圓，由定義求出參數(shù)，得出標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，得出PO²=x²+y²，PA²=（x-1）²+y²，整理表示出λ，建立關(guān)于此參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得的形式討論最值求λ的最大值
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義，求了橢圓的方程，第二問中求參數(shù)的最值的問題要注意函數(shù)思想的使用，一般求最值的題都可以把要求的最值表示成相應(yīng)的函數(shù)，利用所得的函數(shù)解析式求參數(shù)的最值．本題運(yùn)算量大，符號(hào)運(yùn)算極易出錯(cuò)，做題時(shí)要認(rèn)真，嚴(yán)謹(jǐn)，避免因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)，導(dǎo)致解題失�。�本題考查了變形的能力，推理的能力以及運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合的技巧．