Question

已知點M（-1，0），N（1，0），動點P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點N（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x，y），由已條條件推導出

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=

4

1+ (x+1)(x-1)+y2 (x-1)2+y2 • (x+1)2+y2

，由此能求出P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），設l：x=my+1，代入橢圓方程得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已條件推導出存在滿足條件的點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形，且該平行四邊形的面積為

3

2

2

．

解答： 解：（1）設動點P（x，y），
∵點M（-1，0），N（1，0），動點P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
∴

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=

4

1+ (x+1)(x-1)+y2 (x-1)2+y2 • (x+1)2+y2

，
整理，得

x2

3

+

y2

2

=1，
∴P的軌跡C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由題意知l的斜率一定不為0，∴設l：x=my+1，
代入橢圓方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，
△=16m²+16（2m²+3）＞0．
y1+y2=-

4m

2m2+3

，  y1y2=-

4

2m2+3

…①，
假設存在點Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，
其充要條件為

OQ

=

OA

+

OB

，
則點Q的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂）．
由點Q在橢圓上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．
又A、B在橢圓上，即2x12+3y12=6， 2x22+3y22=6．
∴2x₁x₂+3y₁y₂=3…②
將x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1代入，
由①②解得m=±

2

2

．
當m=

2

2

時，解得y1=-

2

， y2=

2

2

．
從而x1=0，  x2=

3

2

    ∴A(0，-

2

)，  B(

3

2

，

2

2

)，
∴

OA

=(0，-

2

)，   

OB

=(

3

2

，

2

2

)，
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB |

=-

2 11

，    sin∠AOB=

3

11

．S平行四邊形OAQB=|

OA

||

OB

|sin∠AOB=

3

2

2

．
同理當m=-

2

2

時，S平行四邊形OAQB=

3

2

2

．
綜上，存在滿足條件的點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形，
且該平行四邊形的面積為

3

2

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷，考查平行四邊形面積的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．