在數(shù)列{an}中,若存在非零整數(shù)T,使得am+T=am對于任意的正整數(shù)m均成立,那么稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,其中T叫做數(shù)列{an}的周期.若數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),當數(shù)列{xn}的周期最小時,該數(shù)列的前2010項的和是( )
A.669
B.670
C.1339
D.1340
【答案】分析:題目中給出了新名詞,首先要弄清題意中所說的周期數(shù)列的含義,然后利用這個定義,針對題目中的數(shù)列的周期情況分類討論,從而將a值確定,進而將數(shù)列的前2 010項和確定.
解答:解:若其最小周期為1,則該數(shù)列是常數(shù)列,即每一項都等于1,此時a=1,
該數(shù)列的項分別為1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,即此時該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列;
若其最小周期為2,則有a3=a1,即|a-1|=1,a-1=1或-1,a=2或a=0,又a≠0,故a=2,
此時該數(shù)列的項依次為1,2,1,1,0,…,由此可見,此時它并不是以2為周期的數(shù)列.
綜上所述,當數(shù)列{xn}的周期最小時,其最小周期是3,a=1,又2 010=3×670,
故此時該數(shù)列的前2 010項和是670×(1+1+0)=1340.
故答案為D.
點評:此題考查對新概念的理解以及分析問題的能力.