【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c滿足f'(0)=4,f'(-2)=0。
(1)求a,b的值及曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求c的取值范圍。
【答案】(1)a=b=4,y=4x+c;(2)(0, ).
【解析】試題分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),由f'(0)=4,f'(-2)=0求得a,b的值,再求得切線的斜率和切點(diǎn),進(jìn)而得到所求切線的方程;
(2)由f(x)=0,可得-c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間和極值,由-c介于極值之間,解不等式即可得到所求范圍.
試題解析:
(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b,
根據(jù)題意得: ,解得.
可得y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為k=f′(0)=b=4,
切點(diǎn)為(0,c),可得切線的方程為y=4x+c;
(2)由(1)f(x)=x3+4x2+4x+c,
由f(x)=0,可得c= x3+4x2+4x,
由g(x)= x3+4x2+4x的導(dǎo)數(shù)g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)
當(dāng)或x<2時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增;
當(dāng)2<x<時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減.
即有g(x)在x=2處取得極大值,且為0;
g(x)在x=處取得極小值,且為,
由函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),可得<c<0,
解得0<c<,
則c的取值范圍是(0, ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|3≤≤27},B={x|>1}.
(1)分別求A∩B,()∪A;
(2)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,頂點(diǎn)A(a,0),B(0,b),中心O到直線AB的距離為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)P滿足: ,其中M,N是橢圓C上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為﹣ ,若Q(λ,μ)為一動(dòng)點(diǎn),E1(﹣ ,0),E2( ,0)為兩定點(diǎn),求|QE1|+|QE2|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABCD與ADEF為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且過(guò)點(diǎn).
(I)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若為坐標(biāo)原點(diǎn), 是的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交于, 兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C1:(x+1)2+y2=25,圓C2:(x﹣1)2+y2=1,動(dòng)圓C與圓C1和圓C2均內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程;
(2)點(diǎn)P(1,t)為軌跡E上點(diǎn),且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB斜率互為相反數(shù),則直線AB斜率是否為定值,若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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