Question

請(qǐng)同學(xué)們利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求和S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0,n∈N^*).

Answer 1

思路:本題采用逆向思維,構(gòu)造S_n的原函數(shù),這里通過(guò)通項(xiàng)公式nx^n-1可發(fā)現(xiàn):(xⁿ)′=nx^n-1,同時(shí)注意對(duì)x的分類(lèi)討論.

探究:當(dāng)x=1時(shí),S_n=1+2+3+…+n=;

當(dāng)x≠1時(shí),∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

∴(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′=.

∴S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=.