Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分

已知拋物線方程為．

（1）若點(diǎn)在拋物線上，求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；

（2）在（1）的條件下，若過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，直線、、的斜率分別記為、、，求證：、、成等差數(shù)列；

（3）對（2）中的結(jié)論加以推廣，使得（2）中的結(jié)論成為推廣后命題的特例，請寫出推廣命題，并給予證明.

說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評分.

Answer 1

（本題18分，其中第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

已知拋物線方程為

（1）若點(diǎn)在拋物線上，求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；

（2）在（1）的條件下，若過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，直線、、的斜率分別記為、、，求證：、、成等差數(shù)列；

（3）對（2）中的結(jié)論加以推廣，使得（2）中的結(jié)論成為推廣后命題的特例，請寫出推廣命題，并結(jié)予證明.

說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評分.

解：

（1）   ∵在拋物線上，  由   得……………2分

∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，          ……………3分

準(zhǔn)線的方程為                ……………4分

（2）證明：∵拋物線的方程為，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為

由可得 

解得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為，……………6分

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，……………7分

則，，，……………8分

由……………9分

知、、成等差數(shù)列。               ……………10分

（3）本小題可根考生不同的答題情況給予評分

①推廣命題：若拋物線的方程為，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn)，M為拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線、、的斜率分別記為、、，則、、成等差數(shù)列。                                       ……………12分

證明：

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線平行于軸時，

由（2）知命題成立。                                         ……………13分

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)直線不平行于軸時，設(shè)的方程為，其與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，則有，

由  得 ，即        ……………14分

，

，∴，即  、、成等差數(shù)列………16分

②推廣命題：若拋物線的方程為，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn)，M為拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線、、的斜率分別記為、、，則、、成等差數(shù)列。                          ……………13分

證明：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，則有，

（�。┊�(dāng)直線平行于軸時，直線的方程為

此時有 ……………14分

（ⅱ）當(dāng)直線不平行于軸時，直線的方程可設(shè)為

由     得     ……………15分

，

，∴，即  、、成等差數(shù)列…18分