Question

已知離心率為

3

2

的橢圓C₁的頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點，點P是橢圓C₁上不同于A₁，A₂的任意一點，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k₁=

1

2

，在焦點在x軸上的橢圓C₁上求一點Q，使該點到直線PA₂的距離最大．
（3）試判斷乘積“k₁•k₂”的值是否與點P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（1）求出雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點為（±2，0），得到橢圓的A₁，A₂的坐標(biāo)，設(shè)出設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a，利用e，然后求解b，求出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求出直線PA₂的方程為y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，推出平行線方程與橢圓聯(lián)立方程組利用判別式為0，求出m值，即可求解點Q坐標(biāo)滿足題意．
（3）設(shè)P（x₀，y₀）則

x02

4

+y₀²=1，利用k₁k₂，化簡整理即可求出k₁k₂的值與點P的位置無關(guān)．

解答： （13分）
解：（1）雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點為（±2，0），即A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（_2，0），（2，0）．
∴設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a=2，
且e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，從而b²=a²-c²=1，
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y²=1．或

x2

4

+

y2

16

=1．
（2）當(dāng)k1=

1

2

時，k2=-

1

2

，故直線PA₂的方程為y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，
與直線PA₂平行的直線方程為：x+2y+m=0，（m＞0），代入橢圓方程，
可得（2y+m）²+4y²-4=0，即8y²+4my+m²-4=0，
∴△=16m²-32（m²-4）=0，
解得m=2

2

，
此時y=-

2

2

，∴x=-

2

，
∴點Q(-

2

，-

2

2

)．
（3）設(shè)P（x₀，y₀）則

x02

4

+y₀²=1，即y₀²=1-

x02

4

=

4-x02

4

．
k₁k₂=

y0-0

x0-(-2)

•

y0-0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

．∴k₁k₂的值與點P的位置無關(guān)，恒為-

1

4

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．