Question

12．已知等腰△ABC，點(diǎn)D為腰AC上一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{BD}$|=3，則△ABC面積的最大值為6．

Answer 1

分析 由已知可得C為AC中點(diǎn)，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，進(jìn)而求得sinA的表達(dá)式，然后代入三角形面積公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解．

解答 解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
故D為等腰三角形ABC腰AC上的中點(diǎn)，
又由|$\overrightarrow{BD}$|=3，
故cosA=$\frac{^{2}+（\frac{2}）^{2}-9}{2•b•\frac{2}}=\frac{5}{4}-\frac{9}{^{2}}$，
△ABC面積S=$\frac{1}{2}$b²•$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{9}{^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{8}\sqrt{-9（^{2}-20）^{2}+2304}≤6$，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查了余弦定理和正弦定理的運(yùn)用．解題過(guò)程中充分利用好等腰三角形這個(gè)條件，屬中檔題．