Question

圓錐曲線(xiàn)C的離心率為e，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，0），求e分別取

2 2

3

、

2

時(shí)曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：依題意，分別設(shè)出e=

2 2

3

與e=

2

時(shí)的曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程，領(lǐng)用曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，0），即可求得答案．

解答：解：∵曲線(xiàn)C的離心率e=

2 2

3

∈（0，1），
∴曲線(xiàn)C為橢圓，設(shè)其方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，0），
∴a=3，
∴c=2

2

，
∴b=1，
∴曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

9

+y²=1；
當(dāng)曲線(xiàn)C的離心率e=

2

時(shí)，曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)，設(shè)其方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
同理可求得a=3，c=3

2

，b=3．
∴曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

9

-

y2

9

=1．
∴曲線(xiàn)C的離心率e分別取

2 2

3

、

2

時(shí)曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：

x2

9

+y²=1或

x2

9

-

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a²，b²是關(guān)鍵，屬于中檔題．