Question

12．已知圓M：（x-2）²+（y-2）²=2，圓N：x²+（y-8）²=40，經(jīng)過原點的兩直線l₁，l₂滿足l₁⊥l₂，且l₁交圓M于不同兩點A，B，l₂交圓N于不同兩點C，D，記l₁的斜率為k．
（1）求k的取值范圍；
（2）若四邊形ABCD為梯形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離小于半徑，即可求k的取值范圍；
（2）由四邊形ABCD為梯形可得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$，所以$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，利用韋達(dá)定理，即可求k的值．

解答 解：（1）顯然k≠0，所以l₁：y=kx，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x．
依題意得M到直線l₁的距離d₁=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
整理得k²-4k+1＜0，解得2-$\sqrt{3}$＜k＜2+$\sqrt{3}$；…（2分）
同理N到直線l₂的距離d₂=$\frac{|8k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜$\sqrt{40}$，解得-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$，…（4分）
所以2-$\sqrt{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$．…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
將l₁代入圓M可得（1+k²）x²-4（1+k）x+6=0，
所以x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+{k}^{2}}$；…（7分）
將l₂代入圓N可得：（1+k²）x²+16kx+24k²=0，
所以x₃+x₄=-$\frac{16k}{1+{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{24{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．…（9分）
由四邊形ABCD為梯形可得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$，所以$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，
所以（1+k）²=4，解得k=1或k=-3（舍）．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．