Question

（2011•河北區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)它的周期為π求得ω的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，根據(jù)x∈[-

π

12

，

π

2

]及正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωxcosωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．…（4分）
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，ω＞0，∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]．…（8分）
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）取最大值

3

2

；…（10分）
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

12

時，f（x）取最小值

1- 3

2

．…（12分）
∴函數(shù)f（x）的值域為[

1- 3

2

，

3

2

]．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的周期性的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．