分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)①x∈(0,1)時(shí),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即a>x−1lnx在(0,1)恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍,②x∈(1,e)時(shí),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即a>x−1lnx在(1,e)恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍,取交集即可.
解答 解:(1)f′(x)=1x-1x2=x−1x2,x>0,
令f′(x)>0,得x>1,令f′(x)<0,得0<x<1,
∴函數(shù)f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增;
(2)∵alnxx−1>1,∴alnx−(x−1)x−1>0,
①x∈(0,1)時(shí),x-1<0,則alnx<x-1在(0,1)恒成立,
即a>x−1lnx在(0,1)恒成立,
令g(x)=x−1lnx,x∈(0,1),則g′(x)=lnx−1+1x(lnx)2,
由(1)得:f(x)=lnx-1+1x在(0,1)遞減,
∴f(x)>f(1)=0,∴g′(x)>0,
g(x)在(0,1)遞增,
而x→1limx−1lnx=x→1lim11x=x→1limx=1,
∴g(x)<1,∴a≥1;
②x∈(1,e)時(shí),x-1>0,則alnx>x-1,
即a>x−1lnx在(1,e)恒成立,
令h(x)=x−1lnx,x∈(1,e),則h′(x)=lnx−1+1x(lnx)2,
由(1)得:f(x)=lnx-1+1x在(1,e)遞增,
∴f(x)>f(1)=0,∴h′(x)>0,
h(x)在(1,e)遞增,
∴h(x)<h(e)=e-1,
∴a≥e-1,
綜上,a≥e-1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,是一道中檔題.
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A. | (0,1) | B. | (0,1] | C. | (1,+∞) | D. | [1,+∞) |
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A. | (-∞,1) | B. | (-∞,1] | C. | (-∞,eπ2) | D. | (-∞,eπ2] |
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