如圖,在Rt△PAB中,∠A是直角,PA=4,AB=3,有一個(gè)橢圓以P為一個(gè)焦點(diǎn),另一個(gè)焦點(diǎn)Q在AB上,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若以PQ所在直線為x軸,線段PQ的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,若經(jīng)過點(diǎn)Q的直線l將Rt△PAB的面積分為相等的兩部分,求直線l的方程.
分析:(1)由題意利用橢圓的定義,求出AQ,推出橢圓的長軸與焦距,即可求橢圓的離心率;
(2)設(shè)出橢圓的方程,通過(1)求出a,b,即可得到橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)出經(jīng)過點(diǎn)Q的直線l的方程,通過直線將Rt△PAB的面積分為相等的兩部分,推出
AC
=3
CP
,求出A的坐標(biāo),求出C的坐標(biāo),即可求直線l的方程.
解答:解:(1)因?yàn)闄E圓以P為一個(gè)焦點(diǎn),另一個(gè)焦點(diǎn)Q在AB上,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)A、B,
所以由橢圓的定義知|AP|+|AQ|=|BP|+|BQ|,
因此4+|AQ|=5+(3-|AQ|),解得|AQ|=2.
于是橢圓的長軸長2a=4+2=6,焦距2c=|PQ|=
42+22
=2
5
,
故橢圓的離心率e=
2c
2a
=
2
5
6
=
5
3

(2)依題意,可設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
由(1)知,a=3,c=
5
,∴b=
a2-c2
=2
,∴橢圓方程為
x2
9
+
y2
4
=1

(3)依題意,設(shè)直線l的方程為y=k(x-
5
)
,
設(shè)直線l與PA相交于點(diǎn)C,則S△QAC=
1
2
S△PAB=3
,故|AC|=3,|PC|=1,從而
AC
=3
CP

設(shè)A(x,y),由|AP|=4,|AQ|=2,得
(x+
5
)2+y2=16
(x-
5
)2+y2=4
,解得A(
3
5
5
,-
4
5
5
)

設(shè)C(x,y),由
AC
=3
CP
,得
x-
3
5
5
=3(-
5
-x)
y+
4
5
5
=-3y
,解得C(-
3
5
5
,-
5
5
)


k=
1
8
,
∴直線l的方程為y=
1
8
(x-
5
)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的基本性質(zhì),橢圓方程的求法,直線方程的應(yīng)用等知識,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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