2.已知函數(shù)f(x)=x2-ax-4,(a∈R).
(Ⅰ)若f(x)在[0,2]上單調(diào),求a的范圍;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[a,a+1]上的最小值為-8,求a的值.
(Ⅲ)若對(duì)任意的a∈R,總存在x0∈[1,2],使得|f(x0)|≥m成立,求m的取值范圍.
(Ⅳ)若函數(shù)g(x)=x2-|f(x)|在區(qū)間(-∞,-2)和(2,+∞)上均單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的對(duì)稱軸,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可;
(Ⅲ)通過(guò)對(duì)稱軸的位置,求出函數(shù)的最大值,結(jié)合a的范圍,求出m的范圍即可;(Ⅳ)求出g(x)的分段函數(shù),通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)$f(x)={(x-\frac{a}{2})^2}-4-\frac{a^2}{4}$.其對(duì)稱軸為$x=\frac{a}{2}$.(2分)
由已知,$\frac{a}{2}≤0$或$\frac{a}{2}≥2$,即a≤0或a≥4.(4分)
(Ⅱ)(a).若$\frac{a}{2}≤a,即a≤0$時(shí),f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào)遞增,
此時(shí)f(x)min=f(a)=-4>-8,不合題意..   (5分)
(b).若$a<\frac{a}{2}<a+1$,即-2<a<0時(shí),
在區(qū)間$[a,\frac{a}{2}]$上單調(diào)遞減,在區(qū)間$[\frac{a}{2},a+1]$上單調(diào)遞增,
所以$f{(x)_{min}}=f(\frac{a}{2})=-\frac{a^2}{4}-4=-8$,
解得a=±4,因?yàn)榇颂?2<a<0,所以此解舍去..        (6分)
(c).若$\frac{a}{2}≥a+1$,即a≤-2時(shí),f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào)遞減,
此時(shí)f(x)min=f(a+1)=a-3=-8,解得a=-5.(8分)
綜上所述,a=-5.(9分)
(Ⅲ)(1)$\frac{a}{2}≥2$即a≥4時(shí),|f(x)|max=max{|a+3|,2|a|}=2a≥8.
所以m≤8.(10分)
(2)$1<\frac{a}{2}<2$即2<a<4的時(shí),${|{f(x)}|_{max}}=max\left\{{|{a+3}|,2|a|,|{4+\frac{a^2}{4}}|}\right\}$.
因?yàn)?4+\frac{a^2}{4}-2a={({2-\frac{a}{2}})^2}≥0$,$4+\frac{a^2}{4}-3-a={({1-\frac{a}{2}})^2}≥0$,
所以|f(x)|max=max{|a+3|,2|a|,|4+$\frac{{a}^{2}}{4}$|}=4+$\frac{{a}^{2}}{4}$,
因?yàn)?<a<4,所以m≤5. (11分)
(3)$\frac{a}{2}≤1$,即a≤2時(shí),|f(x)|max=max{|a+3|,2|a|},|f(x)|max≥|a+3|,|f(x)|max≥2|a|,
故3|f(x)|max≥|a+3|+|a+3|+|2a|≥|a+3+a+3-2a|=6.
所以m≤2(a=-1時(shí)取到2).          (13分)
綜上所述,m≤2. (14分)
(Ⅳ)設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,且x1<x2
所以,$g(x)=\left\{\begin{array}{l}ax+4,x<{x_1}\\ 2{x^2}-ax-4,\;{x_1}≤x≤{x_2}\\ ax+4,x>{x_2}.\end{array}\right.$
若a≤0,則g(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞減,
從而g(x)在區(qū)間(-∞,-2)上不可能單調(diào)遞增,于是只有a>0.(10分)
又因?yàn)椋篺(-2)=2a>0,f(0)=-4<0所以:-2<x1<0(11分)
當(dāng) a>0時(shí),由(1)知:-2<x1<0,
于是,由g(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增可知,g(x)在(-∞,-2)也是單調(diào)遞增的.(12分)
又因?yàn)間(x)在$(\frac{a}{4},{x_2})$和(x2,+∞)均單調(diào)遞增,
結(jié)合函數(shù)圖象可知,$g(x)在(\frac{a}{4},+∞)$上單調(diào)遞增,
于是,欲使g(x)在(2,+∞)上單調(diào)的增,只需$2≥\frac{a}{4}$,亦即a≤8.   (13分)
綜上所述,a的范圍是a∈(0,8].(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及學(xué)生的理解計(jì)算能力,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.已知平面向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a•({\overrightarrow a+\overrightarrow b})=3$,且$|{\overrightarrow a}|=2$,$|{\overrightarrow b}|=1$,則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角的正弦值為( 。
A.$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{3x}{a}$-2x2+lnx,其中a為正常數(shù).
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=lnx,$g(x)=-\frac{k}{x},(k≠0)$
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在(e,f(e))處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)若對(duì)?x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(|x|)≥g(|x|)成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{2x-y≥-2}\\{2x-3y≤3}\end{array}}\right.$,則2x+y的最小值為$\frac{2}{3}$,若4x2+y2≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為$\frac{4}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1+ai)(2-i)是純虛數(shù)(a∈R),則復(fù)數(shù)a+i的共軛復(fù)數(shù)為-2-i.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.函數(shù)$y=3sin(2x+φ+\frac{π}{3})$是偶函數(shù),且$|φ|≤\frac{π}{2}$,則φ=$\frac{π}{6}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

11.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+(2a-2)x,x≤0}\\{{x}^{3}-(3a+3){x}^{2}+ax,x>0}\end{array}\right.$,若曲線y=f(x)在點(diǎn)Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3,其中x1,x2,x3互不相等)處的切線互相平行,則a的取值范圍是(-1,2).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.直線xsinθ+$\sqrt{3}$y+2=0的傾斜角的取值范圍是(  )
A.[${\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}}$]B.[${\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}}$]C.[0,$\frac{π}{6}}$]∪[${\frac{5π}{6}$,π]D.[0,$\frac{π}{3}}$]∪[${\frac{2π}{3}$,π]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案