分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的對(duì)稱軸,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可;
(Ⅲ)通過(guò)對(duì)稱軸的位置,求出函數(shù)的最大值,結(jié)合a的范圍,求出m的范圍即可;(Ⅳ)求出g(x)的分段函數(shù),通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)$f(x)={(x-\frac{a}{2})^2}-4-\frac{a^2}{4}$.其對(duì)稱軸為$x=\frac{a}{2}$.(2分)
由已知,$\frac{a}{2}≤0$或$\frac{a}{2}≥2$,即a≤0或a≥4.(4分)
(Ⅱ)(a).若$\frac{a}{2}≤a,即a≤0$時(shí),f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào)遞增,
此時(shí)f(x)min=f(a)=-4>-8,不合題意.. (5分)
(b).若$a<\frac{a}{2}<a+1$,即-2<a<0時(shí),
在區(qū)間$[a,\frac{a}{2}]$上單調(diào)遞減,在區(qū)間$[\frac{a}{2},a+1]$上單調(diào)遞增,
所以$f{(x)_{min}}=f(\frac{a}{2})=-\frac{a^2}{4}-4=-8$,
解得a=±4,因?yàn)榇颂?2<a<0,所以此解舍去.. (6分)
(c).若$\frac{a}{2}≥a+1$,即a≤-2時(shí),f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào)遞減,
此時(shí)f(x)min=f(a+1)=a-3=-8,解得a=-5.(8分)
綜上所述,a=-5.(9分)
(Ⅲ)(1)$\frac{a}{2}≥2$即a≥4時(shí),|f(x)|max=max{|a+3|,2|a|}=2a≥8.
所以m≤8.(10分)
(2)$1<\frac{a}{2}<2$即2<a<4的時(shí),${|{f(x)}|_{max}}=max\left\{{|{a+3}|,2|a|,|{4+\frac{a^2}{4}}|}\right\}$.
因?yàn)?4+\frac{a^2}{4}-2a={({2-\frac{a}{2}})^2}≥0$,$4+\frac{a^2}{4}-3-a={({1-\frac{a}{2}})^2}≥0$,
所以|f(x)|max=max{|a+3|,2|a|,|4+$\frac{{a}^{2}}{4}$|}=4+$\frac{{a}^{2}}{4}$,
因?yàn)?<a<4,所以m≤5. (11分)
(3)$\frac{a}{2}≤1$,即a≤2時(shí),|f(x)|max=max{|a+3|,2|a|},|f(x)|max≥|a+3|,|f(x)|max≥2|a|,
故3|f(x)|max≥|a+3|+|a+3|+|2a|≥|a+3+a+3-2a|=6.
所以m≤2(a=-1時(shí)取到2). (13分)
綜上所述,m≤2. (14分)
(Ⅳ)設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,且x1<x2.
所以,$g(x)=\left\{\begin{array}{l}ax+4,x<{x_1}\\ 2{x^2}-ax-4,\;{x_1}≤x≤{x_2}\\ ax+4,x>{x_2}.\end{array}\right.$
若a≤0,則g(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞減,
從而g(x)在區(qū)間(-∞,-2)上不可能單調(diào)遞增,于是只有a>0.(10分)
又因?yàn)椋篺(-2)=2a>0,f(0)=-4<0所以:-2<x1<0(11分)
當(dāng) a>0時(shí),由(1)知:-2<x1<0,
于是,由g(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增可知,g(x)在(-∞,-2)也是單調(diào)遞增的.(12分)
又因?yàn)間(x)在$(\frac{a}{4},{x_2})$和(x2,+∞)均單調(diào)遞增,
結(jié)合函數(shù)圖象可知,$g(x)在(\frac{a}{4},+∞)$上單調(diào)遞增,
于是,欲使g(x)在(2,+∞)上單調(diào)的增,只需$2≥\frac{a}{4}$,亦即a≤8. (13分)
綜上所述,a的范圍是a∈(0,8].(14分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及學(xué)生的理解計(jì)算能力,是一道綜合題.
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A. | $-\frac{1}{2}$ | B. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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A. | [${\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}}$] | B. | [${\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}}$] | C. | [0,$\frac{π}{6}}$]∪[${\frac{5π}{6}$,π] | D. | [0,$\frac{π}{3}}$]∪[${\frac{2π}{3}$,π] |
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