Question

已知f（x）=

3+x 1+x2 ，0≤x≤3 f(3)  ，x＞3

，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，求出f'（x）=0的兩個(gè)根，然后比較大小，確定a的范圍，最后根據(jù)f'（x）＞0的解集為增區(qū)間，f'（x）＜0的解集為減區(qū)間；
（2）先把關(guān)于x的方程f（x）-a=0只有一個(gè)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，再利用函數(shù)y=f（x）的最大值，看函數(shù)y=a的圖象滿足什么條件時(shí)符合要求即可求出對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=f（3）是常數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)；
當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=

3+x

1+x2

，求導(dǎo)，得f′（x）=-

x2+6x-1

(1+x2)2

，
由f′（x）＞0得，0＜x＜

10

-3，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

10

-3），f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（

10

-3，3）．
（2）由（1）知，f（0）=3，f（x）最大值=f（

10

-3）=

10 +3

2

，f（3）=

3

5

，
方程f（x）=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于直線y=a與曲線y=f（x）恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴a=

10 +3

2

或

3

5

＜a＜3．

點(diǎn)評(píng)：本試題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)與方程的思想，解決關(guān)于方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸能力．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，是我們對(duì)于超越函數(shù)的一般的研究方法，考查了同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能和思維能力的綜合性．