Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x（x∈R），其中m＞0．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（3）已知函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=1時(shí)，f(x)=-

1

3

x3+x2，f′(x)=-x2+2x，易得函數(shù)在所求點(diǎn)的斜率．
（2）當(dāng)f′（x）≥0，函數(shù)單增，f′（x）≤0時(shí)單減，令f′（x）=0的點(diǎn)為極值點(diǎn)．
（3）由題意屬于區(qū)間[x₁，x₂]的點(diǎn)的函數(shù)值均大于f（1），由此計(jì)算m的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=-

1

3

x3+x2，f′(x)=-x2+2x，
故f'（1）=-1+2=1，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為1．（2分）

（2）f'（x）=-x²+2x+m²-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x=1-m處取得極小值f（1-m），且f（1-m）=-

2

3

m3+m2-

1

3

，
函數(shù)f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=

2

3

m3+m2-

1

3

．（6分）

（3）由題設(shè)，f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x₁，x₂，
故x1+x2=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0，∵m＞0
解得m＞

1

2

，（8分）
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞

3

2

＞1．（10分）
①當(dāng)x₁≤1＜x₂時(shí)，f（1）=-

1

3

（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不符合題意，
②當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m²-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

，
∵由上m＞

1

2

，
綜上，m的取值范圍是（

1

2

，

3

3

）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題較為復(fù)雜，主要考查了直線的點(diǎn)斜式，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值問(wèn)題，注意掌握知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系．