Question

把一根直徑為d的圓木加工成橫截面為矩形的橫梁，橫梁的強度y與橫梁截面寬度的一次方及高度的二次方的積成正比；當圓木加工成截面為正方形的橫梁時，其強度為9(強度單位)，問如何加工才能使橫梁有最大強度?最大的強度為多少?(強度單位)

Answer 1

解法一：設橫粱截面的寬為x，高為A，則x²+h²=d²

依題意設：y=kxh²

又x=h=d時，y=9．∴k=

∴y=f(x)=x(d²-x²)(0＜x＜d)

又y′==(d²-3x²)

令y′=0得：x=d

因f(x)只有一個極值，所以它是最大值，即當橫梁寬為d，高為d時，橫梁有最大強度，最大強度為8(強度單位) 

解法二：y²=x²(d²-x²)²

=·2x²(d²-x²)(d²-x²)

≤

=8²×3

當且僅當2x²=d²-x²，即x=d時， y²_max=8²×3，

∴y_max=8(強度單位).