在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，AA1=AD=DC=2，M∈平面ABCD，且D1M⊥平面A1C1D，求證：A1D=DM．
考點：直線與平面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：由D1M⊥平面A1C1D可知D1M1 ⊥A1D，由三垂線定理逆定理得到M在面DAA1D1上的射影為A，同理M在面DCC1D1上的射影為C．利用DM2=DA2+DC2=8 即可求出DM．
解答： 證明：∵D1M⊥平面A1C1D，∴A1D⊥D1M，
設(shè)D1M在面ADD1A1上的射影為D1M1，
由三垂線定理逆定理，D1M1 ⊥A1D，
∵AA1=AD=DC=2，∴D1A⊥A1D，M1與A重合．
同理M在面DCC1D1上的射影為C．
所以AMCD是正方形，∴DM2=DA2+DC2=8，DM=2
2
．
A1D=
22+22
=2
2
．
∴A1D=DM．
點評：本題考查直線和平面，直線和直線的位置關(guān)系，距離的計算，得出AMCD是正方形是關(guān)鍵．考查空間想象、計算的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=（x-1）（x2+3x-10）的零點個數(shù)是（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

變量x，y滿足
x-4y+3≤0
3x+5y-25≤0
x≥1
，
①設(shè)z=
y
x
，求z的最小值；
②設(shè)z=x2+y2求z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，ξ≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，產(chǎn)品的等級系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好，已知某廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，且該廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)．從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
  ξ  3  4  5  6  7  8
 件數(shù)  9  6  6  3  3  3
該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級系數(shù)ξ≥7的為一等品，等級系數(shù)5≤ξ＜7的為二等品，等級系數(shù)3≤ξ＜5的為三等品．
（1）試分別估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知該廠生產(chǎn)一件一等品的利潤為10元，生產(chǎn)一件二等品或三等品的利潤為2元．
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取三件，其總利潤記為Y，求Y的平均值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=kex，g（x）=
1
k
lnx，其中k＞0．若函數(shù)f（x），g（x）在它們的圖象與坐標(biāo)軸交點處的切線互相平行．
（1）求k的值；
（2）是否存在直線l，使得l同時是函數(shù)f（x），g（x）的切線？說明理由．
（3）若直線x=a（a＞0）與f（x）、g（x）的圖象分別交于A、B兩點，直線y=b（b＞0）與h（x）的圖象有兩個不同的交點C、D．記以A、B、C、D為頂點的凸四邊形面積為S，求證：S＞2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n+4，n∈N*
（1）若a1=1，試求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在a1，使{an}為等差數(shù)列？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（x∈R），滿足f（0）=f（
1
2
）=0，且f（x）的最小值是-
1
8
．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，Sn）在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）通過bn=
Sn
n+k
構(gòu)造一個新數(shù)列{bn}，是否存在非零常數(shù)k，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮；現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（1）求f（5）的值；
（2）利用合情推理歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系，并求f（n）的表達式；
（3）求證：
1
f(1)
+
1
f(2)+3
+
1
f(3)+5
+…+
1
f(n)+2n-1
＜
3n-1
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=lg|x|的單調(diào)性和奇偶性．

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