Question

如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的圓O上動(dòng)點(diǎn)，P'是點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，AB=2a（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P是弧

AB

上靠近B的三等分點(diǎn)時(shí)，求

AP

•

AB

的值；
（Ⅱ）求

AP

•

OP′

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積即可求出；
（Ⅱ）設(shè)∠POB=θ，θ∈[0，2π），寫出點(diǎn)p與P^′的坐標(biāo)，求出

AP

•

AP′

的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出其最值．

解答：解：（Ⅰ）以直徑AB所在直線為x軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
∵P是弧AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，
連接OP，則∠BOP=

π

3

，
點(diǎn)P坐標(biāo)為(

1

2

a，

3

2

a)．
又點(diǎn)A坐標(biāo)是（-a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)是（a，0），
∴

AP

=(

3

2

a，

3

2

a)，

AB

=(2a，0)，
∴

AP

•

AB

=3a2．
（Ⅱ）設(shè)∠POB=θ，θ∈[0，2π），則P（acosθ，asinθ），
P'（acosθ，-asinθ），
∴

AP

=(acosθ+a，asinθ)，

OP′

=(acosθ，-asinθ)．
∴

AP

•

OP′

=a2cos2θ+a2cosθ-a2sin2θ=a²（2cos²θ+cosθ-1）
=2a2(cos2θ+

1

2

cosθ+

1

16

)-

9

8

a2=2a2(cosθ+

1

4

)2-

9

8

a2．
當(dāng)cosθ=-

1

4

時(shí)，

AP

•

OP′

有最小值-

9

8

a2，
當(dāng)cosθ=1時(shí)，

AP

•

OP′

有最大值2a²．

點(diǎn)評：熟練掌握圓的對稱性、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．