f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及D中的任意兩數(shù)x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f1(x)=x2,f2(x)=
1x
(x<0)
中哪些是各自定義域上的C函數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)已知f(x)是R上的C函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)an=f(n),n=0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中Sf的最大值記為h(m),且h(1)+h(2)+…+h(m)≤a對任意給定的正整數(shù)m恒成立,試求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)f1(x)=x2是C函數(shù),直接找f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2),推出其小于等于0即可;f2(x)=
1
x
(x<0)
不是C函數(shù),采用舉反例的方法即可,x1=-3,x2=-1,α=
1
2

(Ⅱ)先根據(jù)定義求出an=f(n)的范圍,再結(jié)合定義即可求出Sf的最大值;
(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中Sf的最大值為m2+m,可得h(m)隨著自變量的增大,函數(shù)值也在增大,所以h(m)沒有最大值,其和也沒有最大值;即可說明所求的a不存在.
解答:解:(Ⅰ)f1(x)=x2是C函數(shù),證明如下:
對任意實(shí)數(shù)x1,x2及α∈(0,1),
有f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=(αx1+(1-α)x22-αx12-(1-α)x22=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x22≤0.
即f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f1(x)=x2是C函數(shù).
f2(x)=
1
x
(x<0)
不是C函數(shù),證明如下:
取x1=-3,x2=-1,α=
1
2
,
則f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=f(-2)-
1
2
f(-3)-
1
2
f(-1)=-
1
2
+
1
6
+
1
2
>0

即f(αx1+(1-α)x2)>αf(x1)+(1-α)f(x2).
f2(x)=
1
x
(x<0)
不是C函數(shù).
(Ⅱ) 對任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1]

∵f(x)是R上的C函數(shù),an=f(n),且a0=0,am=2m
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m
×2m=2n

那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可證f(x)=2x是C函數(shù),且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此時(shí)Sf=m2+m.
綜上所述,Sf的最大值為m2+m.
(Ⅲ)∵h(yuǎn)(1)+h(2)+…+h(m)≤a對任意給定的正整數(shù)m恒成立
所以只需要a大于等于其最大值即可.
因?yàn)閔(m)=m2+m,當(dāng)m是正整數(shù)時(shí),函數(shù)值隨自變量的增大而增大;
所以h(m)沒有最大值.
故h(1)+h(2)+…+h(m)也沒有最大值.
所以所求a不存在.
點(diǎn)評:本題主要是在新定義下考查恒成立問題.恒成立問題一般有兩種情況,一是f(x)>a恒成立,只須比f(x)的最小值小即可,二是f(x)<a恒成立,只須比f(x)的最大值大即可.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對D中的任意兩數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有f(
1
3
x1+
2
3
x2
)<
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)
,則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f(x)=x2是否為定義域上的C函數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),試證明f(x)不是R上的C函數(shù);
(Ⅲ)設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實(shí)數(shù)a∈[0,1]以及D中的任意兩數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有f(ax1+(1-a)x2)≤af(x1)+(1-a)f(x2),則稱f(x)為定義在D 上的π函數(shù).已知f(x)是R上的m函數(shù).m是給定的正整數(shù),設(shè)an=f(n),n=0,1,2,…m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在集合D上的函數(shù),若對集合D中的任意兩數(shù)x1,x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)<
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)
成立,則f(x)是定義在D上的β函數(shù).
(1)試判斷f(x)=x2是否是其定義域上的β函數(shù)?
(2)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:f(x)不是定義在R上的β函數(shù).
(3)設(shè)f(x)是定義在集合D上的函數(shù),若對任意實(shí)數(shù)α∈[0,1]以及集合D中的任意兩數(shù)x1,x2恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)是定義在D上的α-β函數(shù).已知f(x)是定義在R上的α-β函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)an=f(n),n=1,2,3…m且a0=0,am=2m,記∫=a1+a2+a3+…+am,對任意滿足條件的函數(shù)f(x),求∫的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理)設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,則稱f(x)為定義在D上的下凸函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)g(x)=2x(x∈R),k(x)=
1x
 (x<0)
是否為各自定義域上的下凸函數(shù),并說明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函數(shù),求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(3)已知f(x)是R上的下凸函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)f(0)=0,f(m)=2m,記Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江蘇模擬)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及D中的任意兩數(shù)x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f1(x)=x2,f2(x)=
1x
(x<0)
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(Ⅱ)已知f(x)是R上的C函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)an=f(n),n=0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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