【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+x2﹣2ax+1(a為常數(shù))
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意的a∈(1, ),都存在x0∈(0,1]使得不等式f(x0)+lna>m(a﹣a2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)

解:函數(shù)f(x)=lnx+x2﹣2ax+1(a為常數(shù))

f′(x)= +2x﹣2a= ,x>0,

①當a≤0時,f′(x)>0成立,

若f′(x)≥0,則2x2﹣2ax+10≥0,△=4a2﹣8,

當﹣ 時,f′(x)≥0恒成立,

所以當a 時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

②當a 時,

∵2x2﹣2ax+10≥0,x 或0

2x2﹣2ax+10<0, ,

∴f(x)在(0, ),( )上單調(diào)遞增,

在( )單調(diào)遞減


(2)

∵a∈(1, ), +2x﹣2a>0,

∴f′(x)>0,f(x)在(0,1]單調(diào)遞增,

f(x)max=f(1)=2﹣2a,

存在x0∈(0,1]使得不等式f(x0)+lna>m(a﹣a2)成立,

即2﹣2a+lna>m(a﹣a2),

∵任意的a∈(1, ),

∴a﹣a2<0,

即m> 恒成立,

令g(a)= ,

∵m> 恒成立 最后化簡為g′(a)= =

∵任意的a∈(1, ),

>0,

∴g(a)= ,a∈(1, )是增函數(shù).

∴g(x)<g( )= + =

∴實數(shù)m的取值范圍m≥


【解析】(1)求解f′(x)= +2x﹣2a= ,x>0,判斷2x2﹣2ax+10的符號,分類得出①當a≤0時,f′(x)>0成立,當﹣ 時,f′(x)≥0恒成立,
即可得出當a 時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,②當a 時,求解不等式2x2﹣2ax+10≥0,2x2﹣2ax+10<0,得出f(x)在(0, ),( )上單調(diào)遞增,在( , )單調(diào)遞減,(2)f(x)max=f(1)=2﹣2a,存在x0∈(0,1]使得不等式f(x0)+lna>m(a﹣a2)成立,即2﹣2a+lna>m(a﹣a2),m> 恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(a)= ,利用導(dǎo)數(shù)求解即可轉(zhuǎn)化為最值即可判斷.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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x

6

8

10

12

y

6

m

3

2

A. 變量之間呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系

B. 的值等于5

C. 變量之間的相關(guān)系數(shù)

D. 由表格數(shù)據(jù)知,該回歸直線必過點(9,4)

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【題目】隨著旅游觀念的轉(zhuǎn)變和旅游業(yè)的發(fā)展,國民在旅游休閑方面的投入不斷增多,民眾對旅游的需求也不斷提高,安慶某社區(qū)居委會統(tǒng)計了2011至2015年每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù),具體統(tǒng)計資料如表:

年份(x)

2011

2012

2013

2014

2015

家庭數(shù)(y)

6

10

16

22

26


(1)從這5年中隨機抽取兩年,求外出旅游的家庭至少有1年多于20個的概率;
(2)利用所給數(shù)據(jù),求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線方程 ,并判斷它們之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)利用(2)中所求出的回歸直線方程估計該社區(qū)2016年在春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù).
參考公式:

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【題目】某學(xué)校為了制定治理學(xué)校門口上學(xué)、放學(xué)期間家長接送孩子亂停車現(xiàn)象的措施,對全校學(xué)生家長進行了問卷調(diào)查.根據(jù)從中隨機抽取的50份調(diào)查問卷,得到了如下的列聯(lián)表:

同意限定區(qū)域停車

不同意限定區(qū)域停車

合計

20

5

25

10

15

25

合計

30

20

50

則認為“是否同意限定區(qū)域停產(chǎn)與家長的性別有關(guān)”的把握約為__________

附:,其中.

0.050

0.005

0.001

3.841

7.879

10.828

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【題目】在直角坐標系xOy中,直線l的方程為x﹣y+4=0,曲線C的參數(shù)方程 (α為參數(shù))
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(2)設(shè)點Q為曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.

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(1)求的值;

(2)將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,得到,若點恰好落在曲線)上(如圖所示),試判斷點是否也落在曲線)上,并說明理由.

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(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若函數(shù)有兩個極值點,求證:

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