Question

在如圖所示的數表中，第i行第j列的數記為a_i，j，且滿足a_1，j=2^j-1，a_i，1=i，a_{i+1，j+1}=a_i，j+a_i+1，j（i，j∈N^*）；又記第3行的數3，5，8，13，22，39，…為數列{b_n}．則
（Ⅰ）此數表中的第2行第8列的數為

129

；
（Ⅱ）數列{b_n}的通項公式為

b_n=2^n-1+n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得a_2．j=a_1．j+1，故有a_2.8 =a_1.7+a_2.7 =a_1.7+a_1.7+1，運算求得結果．
（Ⅱ）由題意可得 b₁=3，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2+1，b₄-b₃=2²+1，b₅-b₄=2³+1，b₆-b₅=2⁴+1，…b_n-b_n-1=2^n-2+1，累加，利用等比數列的求和公式可得數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得a_2．j=a_1．j+1，故有 a_2.8 =a_1.7+a_2.7 =a_1.7+a_1.7+1=2×2⁶+1=129．
故答案為 129．
（Ⅱ）由題意可得b₁=3，b₂=5，當n≥3時，b_n=2^n-2+1+b_n-1，即 b_n-b_n-1=2^n-2+1．
由 b₁=3，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2+1，b₄-b₃=2²+1，b₅-b₄=2³+1，b₆-b₅=2⁴+1，…b_n-b_n-1=2^n-2+1，
累加可得 b_n=3+2+（2+1）+（2²+1）+（2³+1）+（2⁴+1）+…+（2^n-2+1）
=5+（2+2²+2³+…+2^n-2）+（n-2）×1=

2(1-2n-2)

1-2

+n+3=2^n-1+n+1，
故答案為  b_n=2^n-1+n+1．

點評：本題主要考查數列的函數特性，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式的應用，用累加法進行求和，屬于
中檔題．