Question

在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos²α+cos²β=1．
類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，對角線AC₁與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：類比推理,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由類比規(guī)則，點(diǎn)類比線，線類比面，可得出在長方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，對角線AC₁與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．

解答： 解：我們將平面中的兩維性質(zhì)，類比推斷到空間中的三維性質(zhì)．
由在長方形中，設(shè)一條對角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，
則有cos²α+cos²β=1，
我們根據(jù)長方體性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì)，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如圖
對角線AC₁與過A點(diǎn)的三個(gè)面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分別為α，β，γ，
∴cosα=

AC

AC1

，cosβ=

AB1

AC1

，cosγ=

AD1

AC1

，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=

AC2+AB1 2+AD1 2

AC1 2

，
令同一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)棱的長分別為a，b，c，則有cos²α+cos²β+cos²γ=

AC2+AB1 2+AD1 2

AC1 2

=

a2+b2+a2+c2+b2+c2

a2+b2+c2

=2
故答案為：cos²α+cos²β+cos²γ=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面角的定義，綜合性強(qiáng)是一個(gè)�？嫉念}型．