Question

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若x∈（-1，1）時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，結(jié)合反函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，列出關(guān)于a，b的方程組，可求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式，再將x用y表示，最后交換x、y，即可求出反函數(shù)的解析式，從而得對(duì)x∈（-1，1）恒成立根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性建立不等式，將m分離出來(lái)，即m≥1-x對(duì)x∈（-1，1）恒成立，從而求出所求．
解答：解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴，
∴a=b①…（2分）
又其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，得原函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，），
∴②．
由①②得a=b=1．
記．整理得，
∴
上式兩邊取2為底的對(duì)數(shù)，，交換x、y，
故所求反函數(shù)…（8分）
從而對(duì)x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴…（11分）
即m≥1-x對(duì)x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范圍是m≥2…（13分）
故答案為：m≥2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反函數(shù)，以及反函數(shù)與原函數(shù)的之間的關(guān)系，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題和最值問(wèn)題，是一道綜合題．