精英家教網(wǎng)已知點P(4,4),圓C:(x-m)2+y2=5(m<3)與橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
有一個公共點A(3,1),F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF1與圓C相切.
(1)求直線PF1的方程;
(2)求橢圓E的方程;
(3)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點,求證:以QF1為直徑的圓與圓x2+y2=18相切.
分析:(1)因為A(3,1)在⊙C上,所以
(3-m)2=4
m<3
,m=1.所以⊙C:(x-1)2+y2=5.設(shè)直線PF1方程:y-4=k(x-4),由題設(shè)知:
|4-3k|
k2+1
=
5
,k=
11
2
k=
1
2
.由此能求出直線PF1方程.
(2)由F1(-4,0),知F2(4,0),a2-b2=16.由2a=AF1+AF2=
50
+
2
=6
2
,知a=3
2
,b2=2,由此能求出橢圓E的方程.
(3)設(shè)QF1的中點為M,連QF2OM=
1
2
QF2=
1
2
(6
2
-QF1)
=3
2
-
1
2
QF1
,由此能證明以QF1為直徑的圓與圓x2+y2=18相切.
解答:解:(1)因為A(3,1)在⊙C上,
所以,
(3-m)2=4
m<3
,m=1.
所以,⊙C:(x-1)2+y2=5.(2分)
易知直線PF1的斜率存在,設(shè)直線PF1方程:y-4=k(x-4),
即:kx-y+(4-4k)=0
題設(shè)有:
|4-3k|
k2+1
=
5
,
k=
11
2
k=
1
2
(4分)
k=
11
2
時,直線PF1方程
11
2
x-y-18=0
,
令y=0,則x=
36
11
>0
,不合題意(舍去)
k=
1
2
時,直線PF1方程:x-2y+4=0.
令y=0,則x=-4<0滿足題設(shè).
所以,直線PF1方程為:x-2y+4=0.(6分)
(2)由(1)知F1(-4,0),
所以,F(xiàn)2(4,0),a2-b2=16①(7分)
2a=AF1+AF2=
50
+
2
=6
2

所以,a=3
2
(9分)
所以,b2=2(10分)
橢圓E的方程:
x2
18
+
y2
2
=1
.(11分)
(3)設(shè)QF1的中點為M,連QF2
OM=
1
2
QF2=
1
2
(6
2
-QF1)
=3
2
-
1
2
QF1
(15分)
所以,以QF1為直徑的圓內(nèi)切于圓x2+y2=(3
2
)2

即x2+y2=18.(16分)
點評:本題考查直線方程和橢圓方程的求法,證明以QF1為直徑的圓與圓x2+y2=18相切.解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,靈活運用圓錐曲線的性質(zhì),合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點P(4,4),圓C:(x-m)2+y2=5(m<3)與橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)有一個公共點A(3,1),F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF1與圓C相切.
(Ⅰ)求m的值與橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點,求
AP
AQ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點P (4,4),圓C:(x-m)2+y2=5(m<3)與橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的一個公共點為A(3,1),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF1與圓C相切.
(1)求m的值與橢圓E的方程.
(2)設(shè)D為直線PF1與圓C的切點,在橢圓E上是否存在點Q,使△PDQ是以PD為底的等腰三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P(4,4),圓C:(x-m)2+y2=5(m<3)與橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
有一個公共點A(3,1),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點,直線PF1與圓C相切.
(1)求m的值; 
(2)求橢圓E的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市長河高三市二測?紨(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(本小題滿分15分)已知點P(4,4),圓C與橢圓E:

有一個公共點A(3,1),F1F2分別是橢圓的左.右焦點,直線PF1與圓C相切.

(1)求m的值與橢圓E的方程;

(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點,求的范圍.

 

 

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