Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=128，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）若b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n
（3）設(shè)T_n=

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程即可解得首項(xiàng)和公比，最后寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）先求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，證明其為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算S_n即可；（3）先從求和數(shù)列的通項(xiàng)入手，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列，進(jìn)而利用公式計(jì)算T_n即可

解答：解：（1）設(shè)公比為q，依題意

a1q=2 a1q4 =128

解得a₁=

1

2

，q=4
∴a_n=

1

2

×4^n-1=2^2n-3   （n∈N^*）
（2）b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-3）=2n-3
∴數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為-1，公差為2的等差數(shù)列
∴S_n=

n(-1+2n-3)

2

=n（n-2）
（3）∵

Sn

n

=

n(n-2)

n

=n-2
∴T_n=

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=（1-2）+（2-2）+（3-2）+…+（n-2）=

n(-1+n-2)

2

=

n(n-3)

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式的運(yùn)用，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其運(yùn)用，熟練的求通項(xiàng)公式并準(zhǔn)確運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵