Question

如圖為函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

 ）的圖象的一段．
（1）試確定函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．
（2）求函數(shù)g（x）=log

1

2

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．并利用圖象判斷方程f（x）=3lgx解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由圖可知A=3，利用其周期為π，可求得ω，再利用y=f（x）過（

π

3

，0）可求得φ，從而可得函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，只需求f（x）=3sin（2x+

π

3

）＞0的單調(diào)遞增區(qū)間即可；作出y=3lgx與f（x）=3sin（2x+

π

3

）的圖象即可求得答案．

解答：解：（1）由圖知A=3，

1

2

T=

5π

6

-

π

3

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
又2×

π

3

+φ=π，
∴φ=

π

3

∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（2）∵g（x）=log

1

2

f(x)=log

1

2

3sin(2x+

π

3

)是復(fù)合函數(shù)，外層的對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）＞0且單調(diào)遞增，
∴2kπ＜2x+

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

6

，k∈Z．
∴g（x）=log

1

2

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（kπ-

π

6

，kπ+

π

6

）k∈Z．
在同一直角坐標(biāo)系中作出y=3lgx與f（x）=3sin（2x+

π

3

）的圖象，

由圖可知，兩函數(shù)圖象有7個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）=3lgx有7個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，作圖是難點(diǎn)，屬于難題．