Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，離心率e=

2

2

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），點(diǎn)O到直線AB的距離為

6

3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)M（0，2）作傾斜角為銳角的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，若

MP

=

2

3

MQ

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由A（a，0），B（0，b），知直線AB的方程為bx+ay-ab=0，由點(diǎn)O到直線AB的距離為

6

3

，知

ab

a2+b2

=

6

3

，再由

c

a

=

2

2

，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x1x2=

6

2k2+1

，x1+x2=

-8k

2k2+1

，由M（0，2），

MP

=

2

3

MQ

，知

MP

=（x₁，y₁-2），

MQ

=(x2，y2-2)，x1=

2

3

x2，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），
∴直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∵點(diǎn)O到直線AB的距離為

6

3

，∴

ab

a2+b2

=

6

3

，①
∵離心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

②
聯(lián)立①②得：a²=2，b²=1，
∴所求橢圓方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M(jìn)（0，2），

MP

=

2

3

MQ

，
∴

MP

=（x₁，y₁-2），

MQ

=(x2，y2-2)，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
∵直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，
∴△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，解得k2＞

3

2

．
x1x2=

6

2k2+1

，x1+x2=

-8k

2k2+1

，
∵

MP

=

2

3

MQ

，

MP

=（x₁，y₁-2），

MQ

=(x2，y2-2)，
∴x1=

2

3

x2，

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

3(2k2+1)

=

25

6

，解得k2=

25

14

，
∴直線l的傾斜角為銳角，∴k=

5 14

14

，
∴直線l的方程為y=

5 14

14

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)到直線的距離公式和向量知識(shí)的合理運(yùn)用．