Question

（2012•福州模擬）已知函數(shù) f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則對(duì)于任意x₁，x₂∈R（ x₁≠x₂），下列結(jié)論正確的是（　�。�
①f（x）＜0恒成立；
②（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0；
③（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
④f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；
⑤f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．

A．①③

B．①③④

C．②④

D．②⑤

Answer 1

分析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象在x軸下方，即f′（x）＜0，故原函數(shù)為減函數(shù)，并且是，遞減的速度是先快后慢．由此可得函數(shù)f（x）的圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象易得正確答案．

解答：解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象在x軸下方，即f′（x）＜0，故原函數(shù)為減函數(shù)，
并且是，遞減的速度是先快后慢．所以f（x）的圖象如圖所示．
f（x）＜0恒成立，沒有依據(jù)，故①不正確；
②表示（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]異號(hào)，即f（x）為減函數(shù)．故②正確；
③表示（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]同號(hào)，即f（x）為增函數(shù)．故③不正確，
④⑤左邊邊的式子意義為x₁，x₂中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即圖中點(diǎn)B的縱坐標(biāo)值，
右邊式子代表的是函數(shù)值得平均值，即圖中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)值，顯然有左邊小于右邊，
故④不正確，⑤正確，綜上，正確的結(jié)論為②⑤．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題為導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)的圖象推出原函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．