Question

已知動點M（x，y）到直線l：x=-8的距離是它到點N（-2，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程．
（2）是否存在直線m過點P（0，-6）與動點M的軌跡C交于A，B兩點，且A是PB的中點？若不存在，請說明理由；若存在，求出直線m的斜率．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接由題目給出的條件列式化簡即可得到動點M的軌跡C的方程；
（2）經(jīng)分析當直線m的斜率不存在時，不滿足A是PB的中點，然后設(shè)出直線m的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后整理，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出x₁+x₂，x₁x₂，結(jié)合2x₁=x₂得到關(guān)于k的方程，則直線m的斜率可求．

解答： 解：（Ⅰ1）點M（x，y）到直線x=-8的距離是它到點N（-2，0）的距離的2倍，則
|x+8|=2

(x+2)2+y2

，即（x+8）²=4[（x+2）²+y²]，
整理得

x2

16

+

y2

12

=1．
所以，動點M的軌跡是橢圓，方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）P（0，-6），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中點，得2x₁=0+x₂，2y₁=-6+y₂．
由題意，直線m的斜率k存在．設(shè)直線m的方程為：y=kx-6．
代入橢圓方程，整理得：（3+4k²）x²-48kx+96=0．
所以x₁+x₂=

48k

3+4k2

，x₁x₂=

96

3+4k2

．
因為2x₁=x₂．
則

x1

x2

+

x2

x1

=

5

2

，
所以

( 48k 3+4k2 )2-2× 96 3+4k2

96 3+4k2

=

5

2

．
解得k=±

3

2

．
所以，直線m的斜率k=±

3

2

．

點評：本題考查了曲線方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了學生的計算能力，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解，是中檔題．