Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{{（2n+1）{S_n}}}{3}$，其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，則a_n=2n，S_n=n²+n．

Answer 1

分析 將n換為n-1，可得a₁+2a₂+…+（n-1）a_n=$\frac{（2n-1）{S}_{n-1}}{3}$，與原式相減，化簡(jiǎn)可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，再由數(shù)列恒等式S_n=S₁•$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$，化簡(jiǎn)可得S_n=n²+n．再由當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2n．

解答 解：a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{{（2n+1）{S_n}}}{3}$，
將n換為n-1（n≥2），可得a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（2n-1）{S}_{n-1}}{3}$，
兩式相減可得na_n=$\frac{{（2n+1）{S_n}}}{3}$-$\frac{（2n-1）{S}_{n-1}}{3}$，
即為na_n=S_n+S_n-1，由a_n=S_n-S_n-1，可得
$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
則S_n=S₁•$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=2•$\frac{3}{1}$•$\frac{4}{2}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{n}{n-2}$•$\frac{n+1}{n-1}$
=n（n+1），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，上式也成立；
由a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n．對(duì)n=1也成立．
故答案為：2n，n²+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，注意運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．