【題目】已知二次函數(shù)滿足(),且.
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍(注:相等的實(shí)數(shù)根算一個(gè)).
(3)函數(shù),試問是否存在實(shí)數(shù),使得對任意, 都有成立,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3)答案見解析.
【解析】試題分析:(1)設(shè)(),代入條件化簡并根據(jù)恒等式成立條件得, , ,(2)研究二次方程根的情況,往往結(jié)合二次函數(shù)圖像,即轉(zhuǎn)化為研究直線與二次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出圖像,根據(jù)圖像得實(shí)數(shù)的取值范圍(3)先將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值: ,再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系,分類討論函數(shù)最值,解對應(yīng)不等式,可得實(shí)數(shù)的取值范圍
試題解析:(1)設(shè)()
代入得對于恒成立,故
又由得,解得, , ,
所以
(2)由方程得,令, ,
即要求函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),
①,則,代入原方程得或,不合題意;
②若,則,代入原方程得或,滿足題意,故成立;
③若,則,代入原方程得,滿足題意,故成立.
④若且且時(shí),由得.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
解法2:由方程得,即直線與函數(shù), 的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)(參照給分)
(3)由題意知
假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件,對任意, 都有成立,即,故有,
由,
①當(dāng)時(shí), 在上為增函數(shù), ,所以
②當(dāng)時(shí),
,即
解得,所以.
③當(dāng)時(shí),
即解得,所以
③當(dāng)時(shí),
即,所以
綜上所述,
所以當(dāng)時(shí),使得對任意, 都有成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科考試中,從甲、乙兩個(gè)班級各抽取10名同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,兩班成績的莖葉圖如圖所示,成績不小于90分為及格.
(Ⅰ)設(shè)甲、乙兩個(gè)班所抽取的10名同學(xué)成績方差分別為、,比較、的大小(直接寫出結(jié)果,不寫過程);
(Ⅱ)從甲班10人任取2人,設(shè)這2人中及格的人數(shù)為X,求X的分布列和期望;
(Ⅲ)從兩班這20名同學(xué)中各抽取一人,在已知有人及格的條件下,求抽到乙班同學(xué)不及格的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn),求b的取值范圍;
(3)設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2,BC=6,求證:平面PBD⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+1,x∈R.
(1)分別計(jì)算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值;
(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=x (m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),求滿足(a+1) <(3-2a) 的a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),若函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (t+1)lnx,,其中t∈R.
(1)若t=1,求證:當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0成立;
(2)若t> ,判斷函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩種商品,經(jīng)營銷售這兩種商品所得的利潤依次為M萬元和N萬元,它們與投入資金萬元的關(guān)系可由經(jīng)驗(yàn)公式給出:M=,N= (≥1).今有8萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品,且乙商品至少要求投資1萬元,
設(shè)投入乙種商品的資金為萬元,總利潤;
(2)為獲得最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金投入分別是多少?共能獲得多大利潤?
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