Question

已知P（2，0）為圓C：x²+y²-2x+2my+m²-7=0（m＞0）內一點，過點P的直線AB交圓C于A，B兩點，若△ABC面積的最大值為4，則正實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓的標準方程得到圓心坐標和半徑，利用三角形面積的最大值，確定直線的位置，利用直線和方程的位置關系即可得到結論．

解答： 解：圓的標準方程為（x-1）²+（y+m）²=8，
則圓心C（1，-m），半徑r=2

2

，
S_△ABC=

1

2

r²sin∠ACB≤8sin∠ACB，
∴當∠ACB=90時S取最大值4，
此時△ABC為等腰直角三角形，AB=

2

r=4，
則C到AB距離等于2，
∴2≤PC＜2

2

，
即2≤

(2-1)2+m2

＜2

2

，
∴4≤m²+1＜8，
即3≤m²＜7，
∵m＞0，
∴解得

3

≤m＜

7

，
故答案為：[

3

，

7

）

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用圓的標準方程求出圓心坐標和半徑是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．