Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（I）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數(shù)m的值和P的坐標(biāo)；
（II）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M、N，求實數(shù)m的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，過線段MN的中點作x軸的垂線分別與f（x）的圖象和g（x）的圖象交于S、T點，以S點為切點
作f（x）的切線l₁，以T為切點作g（x）的切線l₂，是否存在實數(shù)m，使得l₁∥l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)兩函數(shù)圖象的公共點的坐標(biāo)P（x，y），把P的坐標(biāo)代入到f（x）和g（x）中利用的函數(shù)值相等得到一個關(guān)系式記作①，又因為在P處有共同的切線，所以分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)分別代入到兩導(dǎo)函數(shù)中利用導(dǎo)函數(shù)值相等得到又一個關(guān)系式，由關(guān)系式解出m，記作②，將②代入①，把右邊變?yōu)?后，設(shè)左邊的關(guān)系式為h（x），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用x大于0得到導(dǎo)函數(shù)大于0，所以h（x）最多只有1個零點，觀察可得橫坐標(biāo)為1為零點，即可求出m的值，進(jìn)而求出此時P的坐標(biāo)；
（II）由第一問求得的m的值和P的坐標(biāo)，求出函數(shù)g（x）的對稱軸，f（x）是固定不變的，所以將g（x）的對稱軸向右移動，兩條曲線有不同的交點，即當(dāng)x=大于列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到此時m的范圍，而當(dāng)m小于-1時，拋物線開口向下，只有一個交點，不合題意；
（III）采用反證法證明，方法是：假設(shè)存在這樣的m，可設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，利用中點坐標(biāo)公式求出M與N的中點坐標(biāo)，然后把中點的橫坐標(biāo)分別代入到f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)中即可求出兩切線方程的斜率，因為兩切線平行，所以利用斜率相等得到一個關(guān)系式記作③，且把兩點的橫坐標(biāo)分別代入到f（x）和g（x）中，并讓函數(shù)值相等，給③的兩邊同乘以x₁-x₂，得關(guān)系式④，把④化簡后，設(shè)μ等于大于1，得到關(guān)于μ的等式，移項后設(shè)h（μ）等于等式的左邊，求出h（μ）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)大于0，得到h（μ）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，故h（μ）＞h（1）=0，與剛才化簡的等式④矛盾，所以假設(shè)錯誤，所以不存在這樣的m，使l₁∥l₂．
解答：解：（I）設(shè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象的公共點為P（x，y），
則有l(wèi)nx=（m+1）x²-x①，
又在點P處有共同的切線，
∴，②
②代入①，得．
設(shè)．
所以，函數(shù)h（x）最多只有1個零點，
觀察得x=1是零點，故m=0．
此時，點P（1，0）；
（II）根據(jù)（I）知，當(dāng)m=0時，兩條曲線切于點P（1，0），
此時，變化的y=g（x）的圖象的對稱軸是x=，
而y=f（x）是固定不變的，如果繼續(xù)讓對稱軸向右移動，
即，解得-1＜m＜0．兩條曲線有兩個不同的交點，
當(dāng)m＜-1時，開口向下，只有一個交點，顯然不合題意，
所以，有-1＜m＜0；

（III）假設(shè)存在這樣的m，不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，
則MN中點的坐標(biāo)為．
以S為切線的切線l₁的斜率，
以T為切點的切線l₂的斜率．
如果存在m，使得k_s=k_T，
即．③
而且有l(wèi)nx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．
如果將③的兩邊同乘以x₁-x₂，得
④，
即，
也就是．
設(shè)μ=，則有．
令（μ＞1），則．
∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．
因此，h（μ）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，故h（μ）＞h（1）=0．
∴⑤
∴④與⑤矛盾．
所以，不存在實數(shù)m使得l₁∥l₂．
點評：此題要求學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會討論根的存在性并會判斷根的個數(shù)，掌握反證法的證明方法，是一道比較難的題．