Question

已知函數(shù)f（x）=e^x|x²-a|（a≥0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若方程f（x）=m恰好有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：分類討論,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=1的f（x）的解析式，分別求出各段的導(dǎo)數(shù)，解不等式即可得到減區(qū)間；
（2）討論a=0，a＞0，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間和極值，由方程f（x）=m恰好有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即可求得m的范圍，進(jìn)而得到m的最大值．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=

ex(x2-1)，|x|＞1 ex(1-x2)，|x|≤1

，
當(dāng)|x|＞1時(shí)，f′（x）=e^x（x²+2x-1），
由f′（x）≤0得-1-

2

≤x≤-1+

2

，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1-

2

，-1）；
當(dāng)|x|≤1時(shí)，f′（x）=-e^x（x²+2x-1），
由f′（x）≤0得x≥-1+

2

或x≤-1-

2

．
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1+

2

，1）；
綜上可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1-

2

，-1），（-1+

2

，1）；

（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x•x²，f′（x）=e^x•x（x+2），
當(dāng)x＜-2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
f（-2）為極大值，且為4e^-2，f（0）為極小值，且為0．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=

ex(x2-a)，|x|＞ a ex(a-x2)，|x|≤ a

，
通過(guò)導(dǎo)數(shù)可得f（x）在（-∞，-

a+1

-1）遞增，在（-

a+1

-1，-

a

）遞減，
在（-

a

，

a+1

-1）遞增，在（

a+1

-1，

a

）遞減，（

a

，+∞）遞增．
則y=f（x）有兩個(gè)極大值點(diǎn)，
f（-

a+1

-1）=2e-1-

a+1

（1+

a+1

），f（

a+1

-1）=2e

a+1

-1（

a+1

-1），
且當(dāng)x=a+1時(shí)，f（a+1）=e^a+1（a²+2a+1）＞2e

a+1

-1（

a+1

-1）=f（

a+1

-1）．
若方程f（x）=m恰好有一個(gè)正根，則m＞f（

a+1

-1）．（否則有兩個(gè)正根），
又方程f（x）=m恰好有一個(gè)負(fù)根，則m=f（-1-

a+1

），
令g（x）=e^-x（x+1），x≥1．g′（x）=-xe^-x＜0，
g（x）在x≥1遞減，g（x）≤g（1）=

2

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得等號(hào)，
f（-1-

a+1

）≤

4

e2

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0，此時(shí)f（

a+1

-1）=2e

a+1

-1（

a+1

-1）=0，
則f（-

a+1

-1）＞f（

a+1

-1），
要使方程f（x）=m的恰好有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，實(shí)數(shù)m的最大值為

4

e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，運(yùn)用函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．