Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ+t（n∈N^*），求證：t=-1是{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，分充分性和必要性兩方面來(lái)證明可得．

解答 證明：（1）充分性：
當(dāng)t=-1時(shí)，a₁=S₁=3-1=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1．
上式當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2×3}^{n}}{2×{3}^{n-1}}$=3，
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（2）必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3+t．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2×3}^{n}}{2×{3}^{n-1}}$=3
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3×2}{3+t}$=3，
∴t=-1．
綜上所述，數(shù)列{a_n]為等比數(shù)列的充要條件是t=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查充要條件的證明，屬中檔題．