Question

（本題滿分分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由已知，即，這是已知與的關(guān)系，求，可用來(lái)解，本題也可以由，與，求出，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有，由（1）知，，故，可用放縮法來(lái)證.

試題解析：（1）（解法一） 依題意，又，所以 （2分）

當(dāng)，

，

兩式相減得

整理得 ，即， （6分）

又，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

所以所以 （8分）

（解法二） ， ，得， （2分）

猜想 （3分）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)時(shí)，猜想成立；

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也成立，即 （4分）

當(dāng)時(shí)，

=

， （5分）

時(shí)，猜想也成立 （6分）

由（1），（2）知，對(duì)于，猜想成立.

，當(dāng)，也滿足此式，故 （8分）

（2）證明：當(dāng)； （9分）

當(dāng)； （10分）

當(dāng)， （12分）

此時(shí)

綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有 （14分）

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，放縮法證明不等式.