Question

已知m為實常數(shù)．命題p：方程

x2

2m

-

y2

m-6

=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：方程

x2

m+1

+

y2

m-1

=1表示雙曲線．
（1）若命題p為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題q為假命題，求m的取值范圍；
（3）若命題p或q為真命題，且命題p且q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的標準方程，可知命題p為真命題時，-（m-6）＞2m＞0，解不等式組可得m的取值范圍；
（2）根據(jù)雙曲線的標準方程，可知命題q為真命題時，（m+1）•（m-1）＜0，解不等式可得m的取值范圍；
（3）若命題p或q為真命題，且命題p且q為假命題，則兩個命題一真一假，結合（1）（2）的結論，分類討論可得m的取值范圍．

解答：解：（1）據(jù)橢圓的標準方程可得：
命題p為真命題時，-（m-6）＞2m＞0，
解之得0＜m＜2；
故命題p為真命題時m的取值范圍為（0，2）；…（4分）
（2）根據(jù)雙曲線的標準方程，
若命題q為真命題，則（m+1）（m-1）＜0，
解得-1＜m＜1，
故命題q為假命題時m的取值范圍（-∞，-1]∪[1，+∞）；…（9分）
（3）由題意，命題p與q一真一假，
當p真q假時有

0＜m＜2 m≤-1，或m≥1

解得1≤m＜2
當p假q真時有

-1＜m＜1 m≤0，或m≥2

解得-1＜m≤0
綜上m的取值范圍是（-1，0]∪[1，2）．…（14分）

點評：本題又命題的真假判斷為載體考查了橢圓的標準方程和雙曲線的標準方程，其中根據(jù)圓錐曲線方程的特點分別求出命題p，q為真時，參數(shù)m的取值范圍是解答的關鍵．