Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

2

+

1

2x+1

（1）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：對于任意的非零實(shí)數(shù)x恒有x f（x）＜0成立．

Answer 1

分析：（1）f(-x)=-

1

2

+

1

2-x+1

=-

1

2

+

2x

1+2x

，由此能求出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，從而證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）令g（x）=x f（x）由（1）易知函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，由此能夠證明對于x≠0的任何實(shí)數(shù)x，均有x f（x）＜0．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=-

1

2

+

1

2x+1

，
∴f(-x)=-

1

2

+

1

2-x+1

=-

1

2

+

2x

1+2x

…．（2分）
=-

1

2

+1-

1

1+2x

=

1

2

-

1

1+2x

=-f(x)…．（4分）
又函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…．（5分）
（2）證明：令g（x）=x f（x）由（1）易知函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，…．（6分）
當(dāng)x＞0時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：2^x＞1，
∴1+2^x＞2，…．（7分）
可得0＜

1

1+2x

＜

1

2

，
∴-

1

2

＜-

1

2

+

1

1+2x

=f(x)＜0，
故x＞0時有x f（x）＜0．…．（8分）
又g（x）=x f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∴當(dāng)x＜0時g（x）=g（-x）＜0，即對于x≠0的任何實(shí)數(shù)x，均有x f（x）＜0．…．（10分）

點(diǎn)評：本題考查奇函數(shù)的證明，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的奇偶性的合理運(yùn)用．