Question

集合A={t|（a₁-

1

a2

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）≤0，t∈N^*}，在等比數(shù)列{a_n}中，若0＜a₁＜a₂₀₁₂=1，則A中元素個數(shù)為（　�。�

• A、2012
• B、2013
• C、4022
• D、4023

Answer 1

考點：集合中元素個數(shù)的最值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,集合

分析：設公比為q，利用a₁＜a₂₀₁₂=1，確定q＞1，a₁=q^-2011，利用等比數(shù)列的求和公式，結合不等式，即可求出A中元素個數(shù)．

解答： 解：設公比為q
∵a₁＜a₂₀₁₂=a₁q²⁰¹¹=1
∴0＜a₁＜1，q＞1，
∴a₁=q^-2011，
∴（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）=（a₁+a₂+…+a_t）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

at

）
=

a1(1-qt)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qt )

1- 1 q

=

1-qt

a1(1-q)qt-1

•（a₁²q^t-1-1），
=

1-qt

a1(1-q)qt-1

•（q^t-4023-1）≤0，
∵

1-qt

a1(1-q)qt-1

＞0，
∴q^t-4023-1≤0
∴q^t-4023≤1
∴t≤4023
故選：D

點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力，正確求和是關鍵．